"Can You Count All the Fall Items?" (learningtreasure.com)
§6 - COMPLICATIONS IN THE MODAL MEANING-STRUCTURE OF THE LAW-SPHERE IN BOTH THE RETROCIPATORY AND THE ANTICIPATORY DIRECTION.
__________________
§6 - COMPLICATIES IN DE MODALE ZIN-STRUCTUUR VAN DEN WETSKRING NAAR DE RETROCIPEERENDE EN ANTICIPEERENDE RICHTING.
__________________
§6 - CASTACHD ANN AN STRUCTAIR-CÈILLE AN RAOIN-LAGH AN DÀ CHUID TAOBH AIS-BHRATHA IS TAOBH RO-BHRATHA.
__________________
(B)
__________________
§6 - COMPLICATIES IN DE MODALE ZIN-STRUCTUUR VAN DEN WETSKRING NAAR DE RETROCIPEERENDE EN ANTICIPEERENDE RICHTING.
__________________
§6 - CASTACHD ANN AN STRUCTAIR-CÈILLE AN RAOIN-LAGH AN DÀ CHUID TAOBH AIS-BHRATHA IS TAOBH RO-BHRATHA.
__________________
(B)
Anticipations.
De anticipaties.
Ro-bhrathan.
Just as in the modal retrocipations, there is an increasing structural complication in the modal anticipations; but here this complication manifests itself in the opposite direction of the cosmic order of time. The modal anticipations of a law-sphere will become more and more complicated according as this law-sphere occupies an earlier place in the temporal order in comparison with another sphere. Whereas retrocipations proved to be either simple or complex, modal anticipations can only be complex. The only differentiation to be made here is that between directly and indirectly anticipating meaning-moments.
The reason why a modal anticipation can never have a simple structure is that even the least complicated modal anticipatory sphere, viz. the spatial anticipation in the modality of number, directly points forward to a meaning-modus (that of original space) which has a retrocipatory sphere of its own.
The complex modal structure of the so-called irrational function of number as a direct anticipation, and that of the so-called complex function of number as an indirect anticipation.
In the so-called irrational function of number (√2, ∛ 5, √ 2 +√ 2 etc. √5) within the series of the 'real numbers' (1) there proves to be implied a complex anticipation of the spatial meaning-moment of extensive magnitude in the modal meaning of number (2). For, though this anticipation is a direct one in the sense defined above, it implies the anticipation of the meaning of spatial continuity and dimensionality.
___________________
(1) 'Real numbers' are all rational numbers in connection with the irrational number-values interpolated between them, whose series is (as appeared, unjustly) considered to be actually continuous.
___________________
(2) Cf. HANKEL, Theorie der complexen Zahlensysteme (1867) p. 59, who, wrongly however, calls the spatial concept of magnitude entirely independent of any number concept.
___________________
The so-called uni-dimensionality of the infinite basic series of real numbers can therefore not be an original moment, but only an implicitly and directly anticipatory one in the meaning-structure of number. It remains qualified by the meaning-nucleus of discrete quantity. But it cannot be grasped in this modality outside of the coherence with the original continuity of extension and the moments of dimensionality and magnitude implied in the latter. The inadequacy of the infinite series of fractional rational number-values in which the irrational function of number is expressed can never be removed in the meaning of number itself. It is rather the necessary expression of the lack of self-sufficiency of the numerical modality in the anticipatory direction, the expression of its appeal to extensive magnitude in the modal meaning of continuous dimensional extension.
This anticipation of spatial dimensionality and magnitude assumes a further complication in the so-called complex function of number. In this the real numbers are deepened through their connection with the imaginary function (in the ordinary, simple form: A + Bi, in which i = √ -1 or (-1)½). This is a new complication in the numerical meaning-structure because the symbol - i signifies the approximation of the modal directions of pure movement in the modal function of number. Apart from this inter-modal coherence of meaning the imaginary function of number would remain perfectly meaningless. In this case we are confronted with an indirect anticipation which can only point to directions and intensity in the modal meaning of motion through the intermediary of spatial dimensionality and magnitude, and therefore anticipates movement implicitly.
In the meaning of number proper the imaginary function finds its only starting-point, as NATORP correctly pointed out, in the multiplicative relations of the + and — directions. But these relations remain originally defined by the nucleus of discrete quantity (3)[numerical law-sphere].
_________________
(3) NATORP is in principle bound to deny this, in keeping with the logicistic postulate of continuity.
_________________
In their anticipatory function they continue to imply the intermodal reference to spatial dimensionality and change of direction in the original aspect of movement. In other words, they should never be conceived in the original meaning of the continuous transformation of direction.
Reckoning with the imaginary function of number made its entrance already in the 17th century. The decisive factor, however, leading to the acknowledgment of the full value of this function of number was GRASZMANN'S "Ausdehnungslehre" in close connection with HAMILTON's so-called quaternion-calculus. At first it drew little attention in mathematical circles. GRASZMANN introduced the complex numbers of an arbitrary order for the approximation of the dimensions of continuous extension. In keeping with LEIBNIZ' idea of a universal method of reckoning, GRASZMANN considers geometry merely as a species or an 'example' of a kind of mathematics which is a pure calculus. And at the same time this method wants to rise above ordinary arithmetic by including the latter in its own domain only as a special case.
But GRASZMANN did not yet go so far as to introduce the moment of dimension into the number-concept itself. With him direction and dimension are at bottom still only 'proporties' of what is countable. In his "Ausdehnungslehre" he merely wanted to create a suitable method of scientific treatment of these properties.
Logicistical arithmetic, however, found sufficient inducement in this method to attempt a further step. GRASZMANN had very successfully assumed a close connection between the complex functions of number and the spatial dimensions. Logicistic arithmetic now tried to derive dimensionality as an original meaning-moment from the meaning of number proper, or rather from logical thought. It gained an easy victory over its antagonists, in so far as they regarded number as fundamentally 'uni-dimensional', and only opposed the introduction of the moment of multi-dimensional continuity in the number-concept.
In his attempt to derive the moment of multi-dimensionality from the original concept of number, conceived of in a logicist way, NATORP starts from the 'uni-dimensional' or 'linear' basic series of numbers. He considers it to be a straight line, created in rigid logical continuity from the logical basic relation of isolation and unification. In this straight line the plus- and minus-directions are strictly correlated and determine the place of each member of the series as a counter-member to a basic member, or as a basic member to a counter member. The introduction of linear dimensionality into the number-concept was preceded by the introduction of original continuity into this concept. The latter has been already discussed and found antinomic.
NATORP tries to find the logical transition to the 'multidimensional' or complex number in the multiplicative development of the so-called relative functions of number, i.e. the series in which counting (0, 1, 2, ... etc.) occurs twice, only differing through the symbols + or —, and connected in the common starting-value, 0. (4)
___________________
(4) Die logischen Grundlagen, p. 248
___________________
Click image to enlarge
De anticipaties.
Evenals in de modale retrocipaties vinden wij ook in de modale anticipaties een toenemende structuur-verwikkeling, die zich echter hier juist in de omgekeerde richting van de kosmische tijdsorde geldend maakt. Naarmate een wetskring in verhouding tot een anderen een vroegere plaats in deze tijdsorde inneemt, zullen de anticipaties in zijn modale zin-structuur op de zin-modaliteit van den lateren wetskring dus toenemen in gecompliceerdheid.
Terwijl wij echter bij de retrocipaties als eerste onderscheiding die tusschen enkelvoudige en gecompliceerde vonden, zijn de modale anticipaties steeds noodzakelijk van gecompliceerde structuur.
Hier heeft dus slechts de onderscheiding tusschen rechtstreeks en middellijk anticipeerende bestaansrecht.
De reden, waarom een modale anticipatie nimmer van enkelvoudige structuur kan zijn, is deze, dat ook de minst gecompliceerde modale anticipatiesfeer, nl. de ruimtelijke in den modalen zin van het getal, toch reeds rechtstreeks naar een zin-modaliteit (de originaire ruimte) vooruitwijst, welke, gelijk we zagen, zelve een retrocipatiesfeer bezit.
De complexe modale structuur der zgn. irrationeele getalsfunctie als rechtstreeksche, en die van de zgn. complexe getalsfunctie als middellijke anticipatie.
Zoo openbaart zich reeds in de zgn. irrationeele getalsfunctie (√2, ∛5, √2+√2 enz.) binnen de reeks der zgn. ‘reeële getallen’(5) een complexe anticipatie van den modalen getalszin op dien der ruimte in haar zin-moment der extensieve grootte.(6) Want al is deze anticipatie een rechtstreeksche in den vroeger omlijnden zin, zij impliceert in de benadering van de extensieve grootte uiteraard die van de ruimtelijke continuiteit en dimensionaliteit.
_________________
(5) Onder ‘reeële getallen’ verstaat men alle rationeele, in verbinding met de tusschen haar geïnterpoleerde irrationeele getalswaarden, welker reeks men, gelijk vroeger werd aangetoond ten onrechte, als continu vat.
(6) Vgl. HANKEL Theorie der complexen Zahlensysteme (1867) S. 59, die echter ten onrechte het ruimtelijk groottebegrip geheel onafhankelijk van ieder getalsbegrip noemt.
_________________
De zgn. één-dimensionaliteit van de grondreeks der reeële getalswaarden kan dus geen originair, maar slechts impliciet en rechtstreeks anticipeerend moment zijn in de modale zin-structuur van het getal. Het blijft door de zin-kern der discrete quantiteit bepaald, maar is in dezen modalen getalszin niet te vatten buiten het anticipeerend zin-verband met de originaire extensieve continuiteit en de daarin geimpliceerde momenten der dimensionaliteit en grootte. De inadaequaatheid van de eindelooze reeks der gebroken rationeele getalswaarden, waarin de irrationeele getalsfunctie zich uitdrukt, kan in den zin van het getal zelve nimmer worden opgeheven. Zij is veeleer de noodwendige uitdrukking van de onzelfgenoegzaamheid van den modalen getalszin in de anticipeerende richting, van zijn noodwendig appèl op de extensieve grootte in den modalen zin der continue, dimensionale uitgebreidheid.
In de zgn. complexe getalsfunctie, waarin de zgn. reeële een verdere verdieping ondergaat door haar verbinding met de zgn. imaginaire functie (in den gewonen, eenvoudigen vorm: A + B i, waarbij i = √ - 1 of (-1)½), verkrijgt de bedoelde anticipatie op de ruimtelijke dimensionaliteit en grootte een nieuwe verwikkeling, doordat het symbool i de benadering der modale bewegingsrichtingen in de modale getalsfunctie beteekent.
Los van dit inter-modaal zin-verband blijft de imaginaire getalsfunctie volkomen zin-loos.
Wij staan hier voor een middellijke anticipatie, welke eerst door bemiddeling van de ruimtelijke dimensionaliteit en grootte naar de richtingen en intensiteit in den modalen zin der beweging kan heenwijzen en dus in haar anticipatie op de laatste implicite op de eerste anticipeert.
In den modalen getalszin zelve vindt de imaginaire getalsfunctie, gelijk NATORP juist heeft gezien, haar eenig aanknoopingspunt in de multiplicatieve betrekkingen der + en - richtingen. Doch deze betrekkingen blijven originair gekwalificeerd door de modale zin-kern der discrete quantiteit, hetgeen NATORP, gelijk wij zullen zien, in de lijn van het logicistisch continuiteitspostulaat, principieel moet loochenen. Zij blijven in haar anticipeerende functie onderstellen de ruimtelijke dimensionaliteit en de richtingsverandering in den originairen zin der beweging. Zij mogen m.a.w. nimmer in den originairen zin der continue richtingstransformatie worden gevat.
Ofschoon, gelijk bekend, de rekening met de imaginaire getalsfunctie reeds in de 17e eeuw onstond, is de beslissende stoot tot erkenning van de volwaardigheid dezer getalsfunctie eerst uitgegaan van GRASZMANN's, aanvankelijk in mathematische kringen weinig opgemerkte, ‘Ausdehnungslehre’, in nauw verband met HAMILTON's zgn. quaternionen-rekening. GRASZMANN voerde nl. de complexe getallen van willekeurige ordening in ter benadering van de dimensies der continue uitgebreidheid. In de lijn van LEIBNIZ' idee eener universeele reken methode wordt bij hem de geometrie tot een bloot species of ‘voorbeeld’ eener mathesis, welke zuiver in rekening bestaat, maar zich ook boven de gewone arithmetica wil verheffen en deze eveneens slechts als een bijzonder geval in zich zou sluiten. Maar GRASZMANN ging daarbij toch nog niet zoover, het dimensie-moment in het getalsbegrip zelve in te voeren. Richting en dimensie blijven bij hem in den grond slechts ‘eigenschappen’ van het telbare, waarvoor in de abstracte ‘Ausdehnungslehre’ slechts een geschikte methodisch wetenschappelijke behandelingswijze zou worden geschapen.
De logicistische arithmetica moest intusschen in de nauwe verbinding, welke GRASZMANN met zooveel succes tusschen de complexe getalsfuncties en de ruimtelijke dimensies had aangenomen, gereede aanleiding vinden tot de poging, het moment der dimensionaliteit als een originair zin-moment uit den getalszin zelve, of liever uit het logisch denken, te laten ontspringen.
Zij had daarbij tegenover haar tegenstanders betrekkelijk gemakkelijk spel, voorzoover dezen het getal als principieel ‘eendimensionaal’ beschouwden en zich dus slechts verzetten tegen de invoering van het moment der méér-dimensionale continuiteit in het getalsbegrip.
NATORP gaat bij zijn poging deze meer-dimensionaliteit originair uit het logicistisch gevatte getalsbegrip zelve af te leiden, uit van de ‘eendimensionale’ of ‘lineaire’ grondreeks der getallen als een, in strenge logische continuiteit uit de logische grondrelatie van afzondering en vereeniging geschapen, ‘rechte’, waarin de plusen minus-richting in strenge correlatie de plaats van ieder lid der reeks als tegenlid tot een grondlid of grondlid tot een tegenlid bepaalt. Aan deze invoering van de lineaire dimensionaliteit in het getalsbegrip is uiteraard reeds voorafgegaan de reeds vroeger besproken en antinomisch gebleken invoering van een originaire continuiteit daarin.
Den logischen overgang naar het ‘meer-dimensionale’ of complexe getal zoekt hij dan in de multiplicatieve ontwikkeling van de zgn. relatieve getalsfuncties, d.w.z. de reeksen, waarin de telling (0, 1, 2,... enz.) twee maal optreedt, onderscheiden alleen door het + of - teeken en verbonden in de gemeenschappelijke uitgangswaarde 0.(7)
_________________
(7) Die logische Grundlagen S. 248.
_________________
(Herman Dooyeweerd, New Critique of Theoretical Thought, Vol II/ Part I/ Chapt 2/§6 pp 169-172 [De Wijsbegeerte der Wetsidee Deel 2 §5 pp 112-116])
